题目内容
如图，给出下面六个判断：①AB是⊙O的直径；②AC是⊙O′的直径；③⊙O′交AB于点E，弦AD=AE；④点P在AB的延长线上，PD切⊙O于C；⑤AC•PE=BC•PD；⑥PD•PB=PA•PC
（1）请将这6个结论中的3个作为题设，2个作为结论，写出一个真命题，并证明．
（2）若PD=4，PE=3，求PA：PB的值．
考点：圆的综合题
专题：综合题,压轴题
分析：（1）①②④作为题设，③⑤作为结论，连接CE，OC，证明∠ACD=∠ACE，即可得出③，然后利用相似三角形的性质及等比例代换可得出⑤；
（2）根据（1）的思路，分别确定
及
，然后可得出PA：PB的值．
（2）根据（1）的思路，分别确定
| PA |
| PC |
| PB |
| PC |
解答：解：连接CE，OC，
选择①②④作为题设，③⑤作为结论，
证明③：∵PC是圆O'的切线，
∴∠DCA=∠CBA，
∵AC是圆O'的直径，AB是圆O的直径，
∴∠AEC=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠DCA，
∴AD=AE．
证明⑤：易证△ABC∽△ACE，
则
=
，
∵AD=AE，
∴
=
，
∵△PCE∽△PAD，
∴
=
，
综上可得：
=
，
即证明AC•PE=BC•PD．
（2）由（1）的证明过程可得：
=
=
=
，
∵
=
（切割线定理），
∴
=
=
，
∴PA：PB=
：
=
．
选择①②④作为题设，③⑤作为结论，
证明③：∵PC是圆O'的切线，
∴∠DCA=∠CBA，
∵AC是圆O'的直径，AB是圆O的直径，
∴∠AEC=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠DCA，
∴AD=AE．
证明⑤：易证△ABC∽△ACE，
则
| AC |
| BC |
| AE |
| CE |
∵AD=AE，
∴
| AE |
| CE |
| AD |
| CE |
∵△PCE∽△PAD，
∴
| AD |
| CE |
| PD |
| PE |
综上可得：
| AC |
| BC |
| PD |
| PE |
即证明AC•PE=BC•PD．
（2）由（1）的证明过程可得：
| PD |
| PE |
| AC |
| BC |
| PA |
| PC |
| 4 |
| 3 |
∵
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
∴
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
| 3 |
| 4 |
∴PA：PB=
| PA |
| PC |
| PB |
| PC |
| 16 |
| 9 |
点评：本题属于圆的综合题，涉及了切割线定理、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求同学们先将比例式变形，然后一步一步的推，逻辑性要强．
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