题目内容

梯形ABCD中，AD∥BC，P，M，N分别为AD，AB，CD上的点，且PM∥BD，PN∥AC，
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）若AC⊥BD，AC=BD=12，设PN=x，△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当x取什么值时，△PMN的面积最大？并指出此时P点在线段AD上什么位置．

解：（1）∵PM∥BD，PN∥AC，
∴△AMP∽△ABD，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ①
同理可得△DPN∽△DAC， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②
①+②得：
得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
即： $\text{[math]}$ ；

（2）∵PM∥BD，PN∥AC，AC⊥BD，
∴∠MPN为直角，
∵AC=BD=12，PN=x， $\text{[math]}$ ，
∴PM=12-x，
∴△PMN的面积y= $\text{[math]}$ ×x（12-x）=- $\text{[math]}$ x²+6x；

（3）由（2）知：y=- $\text{[math]}$ （x-6）²+18，
当x=6时，y_max=18，此时点P为线段AD的中点．
分析：（1）PM∥BD，PN∥AC，△AMP∽△ABD，△DPN∽△DAC，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ①； $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②，①+②化简即可得证；
（2）根据题给条件证明∠MPN为直角，然后利用（1）中的结论求出PM的长，继而利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据（2）中得出的y与x的函数关系式求出最值．
点评：本题考查梯形的知识，同时涉及了二次函数的最值、三角形的面积、三角形中位线定理和平行线分线段成比例的知识，是一道综合题，但难度不是很大．