Question

正方形的顶点A在直线L上，分别过点B、C、D作直线L的垂线，垂足分别为M、N、R，当AB边与直线L的夹角为45°时，如图一，易证：DR+BN=CN．当AB与L的夹角不是45°时，如图二，上述结论是否成立？若成立给出证明，若不成立，直接写出DR、CN、BM的数量关系，不用证明．

Answer 1

分析：过B点作BN于Q点，则四边形BMNQ为矩形，由矩形的性质得BM=QN，再根据正方形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC，则∠DAR+∠BAM=90°，∠ABQ+∠CBQ=90°，
由BQ∥l得到∠BAM=∠ABQ，于是有∠DAR=∠CBQ，易证Rt△ADR≌Rt△BCQ，则DR=CQ，即可证得DR+BN=CN．

解答：解：DR+BN=CN仍然成立．理由如下：
过B点作BN于Q点，
∵CN⊥l，BM⊥l，
∴四边形BMNQ为矩形，
∴BM=QN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠DAR+∠BAM=90°，∠ABQ+∠CBQ=90°，
而BQ∥l，
∴∠BAM=∠ABQ，
∴∠DAR=∠CBQ，
∴Rt△ADR≌Rt△BCQ，
∴DR=CQ，
而CN=CQ+QN，
∴DR+BN=CN．

点评：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都等于90°．也考查了垂线的性质以及三角形全等的判定与性质．