Question

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．
（1）求证：PA²=PB•PC；
（2）割线PEF交⊙O于点E、F，且PB=BC=4，PE=6，求EF的长．

Answer 1

解：（1）连接AB、AC、BO、AO，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，
又∵2∠BAO+∠O=180°，
∴∠PAB=∠O，
∵∠C=∠O，
∴∠PAB=∠C，
∴△PAB∽△PCA，
∴，
即PA²=PB•PC．

（2）∵PA²=PB•PC，
同理，PA²=PD•PE，
∴PD•PE=PB•PC，
且PB=BC=4，PE=6，
∴，
即DE=PE-PD=6-=．
分析：（1）连接AB、AC、BO、AO，可证得△PAB∽△PCA，则，即PA²=PB•PC
（2）由PA²=PB•PC，同理得，PA²=PD•PE，可证得PD•PE=PB•PC，根据题意可求得PD，即得出DE的长．
点评：本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．