Question

9．在△ABC中，AB＞AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI，求证：
（1）OI∥BC；
（2）S_△AOC-S_△AOB=2S_△AOI．

Answer 1

分析 （1）作IG⊥BC于G，IE⊥AC于E，IF⊥AB于F．，OD⊥BC于D，连接ID，则E、F、G是△ABC内切圆与各边的切点．首先证明OI=DG，再用同一法证明OI⊥IG即可解决问题．
（2）如图2中，连接BI、IC．由S_△AOC=S_△AIC+S_△AOI+S_△OIC，S_△AOB=S_△AIB-S_△AOI-S_△BOI，S_△BOI=S_△COI，推出S_△AOC-S_△AOB=S_△AIC-S_△AIB+2S_△AOI+2S_△BOI，求出
S_△AIC-S_△AIB以及2S_△BOI，代入计算即可解决问题．

解答 证明：（1）作IG⊥BC于G，IE⊥AC于E，IF⊥AB于F．，OD⊥BC于D，连接ID，则E、F、G是△ABC内切圆与各边的切点．

∵AB=AF+BF，AC=AE+CE，AF=AE，BF=BG，CE=CG，
∴AB-AC=BF-CE=BG-CG，
∵BG=BD+DG=$\frac{1}{2}$BC+DG，CG=CD-DG=$\frac{1}{2}$BC-DG，
∴AB-AC=（$\frac{1}{2}$BC+DG）-（$\frac{1}{2}$BC-DG）=2DG，
∵AB=AC=2OI，
∴DG=OI，
∵DG⊥IG，OD∥IG，作OI′⊥IG于I′，
∴OI′=DG=OI，
∴I与I′重合，
∴OI∥DG即OI∥BC．

（2）证明：如图2中，连接BI、IC．

∵S_△AOC=S_△AIC+S_△AOI+S_△OIC，
S_△AOB=S_△AIB-S_△AOI-S_△BOI，S_△BOI=S_△COI，
∴S_△AOC-S_△AOB=S_△AIC-S_△AIB+2S_△AOI+2S_△BOI，
∵IF=IE=IG，AB-AC=2OI，
∴S_△AIC-S_△AIB=$\frac{1}{2}$AC•IE-$\frac{1}{2}$AB•IF=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•IF=-OI•IF，
∵2S_△BOI=2×$\frac{1}{2}$OI•IG=0I•IF，
∴S_△AOC-S_△AOB=-OI•IF+2S_△AOI+OI•IF=2S_△AOI．

点评 本题考查三角形外接圆、内切圆、切线长定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加辅助线，灵活运用切线长定理解决问题，学会利用分割法求三角形的面积，题目比较难，属于计算类题目．