题目内容
【题目】如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．
【解析】
（1）根据等边三角形性质得到∠ABP＝∠PCN＝60°，证明∠BAP＝∠CPN，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC是正三角形，AD是边BC上的高线，由三线合一可证△ABD≌△ACD；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因为△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）当点P在BD的中点运动到DC的中点时，利用相似三角形性质，设PB＝x，CN＝y，则3≤x≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：
，解得
，又利用函数图象可知：当x＝3或9时，y＝
，当x＝6时，y最大＝3，所以点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；
理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三线合一可证△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；
（3）能，设PB＝x，CN＝y，由第（1）题可得：，
∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：
当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3；
∴点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
寒假乐园北京教育出版社系列答案
