Question

12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是9，则DP的长是3．

Answer 1

分析 作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S_△ADP=S_△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S_{四边形ABCD}=S_矩形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP²=9，易得DP=3．

解答 解：作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠CED}\\{∠ADP=∠CDE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S_△ADP=S_△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S_{四边形ABCD}=S_矩形BEDP，
∴DP²=9，
∴DP=3．
故答案为3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形的性质和勾股定理．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．