Question

如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．
（1）求证：AF=AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．

Answer 1

分析：（1）依题意可知AD=AE，∠DAE=90°，则∠DEA=45°，在△ERG中，RG⊥DE，则∠FRA=45°，可证AF=AR；
（2）①当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，AF∥PR，可证△EAF∽△ERP，利用相似比求AR，而AR=DP=t，由此求t的值；②当△PRB是等腰三角形时，PC=2BR，列方程求t的值．

解答：（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，
∵AE=AB，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=45°，
又∵FG⊥DE，
∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，
∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，
∴∠FRA=∠RFA=45°，
∴AF=AR；

（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，
则有PR∥BC，
∴AF∥PR，
∴△EAF∽△ERP，
∴

AF

RP

=

EA

ER

，即：

AF

2

=

2

2+AR

由（1）得AF=AR，
∴

AR

2

=

2

2+AR

，
解得：AR=-1+

5

或AR=-1-

5

（不合题意，舍去），
∴DP=AR=-1+

5

，
∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，
∴t=

5

-1（秒）；
②若PR=PB，
过点P作PK⊥AB于K，
设FA=x，则RK=

1

2

BR=

1

2

（2-x），
∵△EFA∽△EPK，
∴

FA

PK

=

EA

EK

，
即：

x

2

=

2

4- 1 2 (2-x)

，
解得：x=±

17

-3（舍去负值）；
∴t=

17 -1

2

（秒）；
若PB=RB，
则△EFA∽△EPB，
∴

EA

EB

=

AF

BP

=

1

2

，
∴

AR

BP

=

1

2

，
∴BP=

2

3

AB=

2

3

×2=

4

3

∴CP=BC-BP=2-

4

3

=

2

3

，
∴t=

8

3

（秒）．
综上所述，当PR=PB时，t=

17 -1

2

；当PB=RB时，t=

8

3

秒．

点评：本题考查了正方形、矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．关键是利用相似比列方程求解．