Question

（2012•梧州）如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为D．连接BD，交OC于点E．
（1）求证：∠CDE=∠CED；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，利用切线的性质和圆的半径相等得到的等腰三角形即可证明∠CDE=∠CED；
（2）连接AD，利用圆周角定理和已知条件证明△ABD∽△EBO，利用相似三角形的性质即可求出EB的长，进而求出DE的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，切点为D．
∴∠ODC=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵OC⊥AB，
∴∠CED=∠OEB=90°-∠B，
∵∠CDE=90°-∠ODB，
∴∠CDE=∠CED；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=90°，
∵AB=13，
∴OB=

13

2

，
∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，
∴△ABD∽△EBO，
∴

AB

EB

=

DB

BO

．
∴

13

EB

=

12

13 2

，
∴EB=

169

24

，
∴DE=BD-EB=

119

24

．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．