Question

如图，△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，连接
A₂B₁并延长到点B₂，使A₂B₁=B₁B₂，以A₂B₂为边作等边△A₂B₂C₂，A₃为等边
△A₂B₂C₂的中心，连接A₃B₂并延长到点B₃，使A₃B₂=B₂B₃，以A₃B₃为边作等边△A₃B₃C₃，依次作下去得到等边△A_nB_nC_n，则等边△A₅B₅C₅的边长为

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：规律型

分析：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，根据等边三角形的中心的性质得∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=

1

2

A₁B₁=

1

2

，利用余弦的定义得cos∠A₂B₁D₁=cos30°=

B1D1

A2B1

=

3

2

，可计算出A₂B₁=

3

3

，由A₂B₁=B₁B₂得到A₂B₂=

2 3

3

，用同样的方法可计算出A₃B₃=（

2 3

3

）²，于是A₄B₄=（

2 3

3

）³，A₅B₅=（

2 3

3

）⁴．

解答：解：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，如图，
∵△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，
∴∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=

1

2

A₁B₁=

1

2

，
∴cos∠A₂B₁D₁=cos30°=

B1D1

A2B1

=

3

2

，
∴A₂B₁=

3

3

，
∵A₂B₁=B₁B₂，
∴A₂B₂=

2 3

3

，
同理可得∠A₃B₂D₂=30°，B₂D₂=

1

2

A₂B₂=

1

2

×

2 3

3

=

3

3

，
∴cos∠A₃B₂D₂=cos30°=

B2D2

A3B2

=

3

2

，
∴A₃B₂=

2

3

，
∵A₃B₂=B₂B₃，
∴A₃B₃=

4

3

=（

2

3

）²=（

2 3

3

）²，
同理可得A₄B₄=（

2 3

3

）³，
A₅B₅=（

2 3

3

）⁴．=

16

9

故答案为

16

9

．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了特殊角的三角函数值．