题目内容
（1）如图1，等腰直角△ABC的直角顶点B在直线l上，A、C在直线l的同侧．过A、C作直线l的垂线段AD、CE，垂足为D、E．请证明AD+CE=DE．（2）如图2，平面直角坐标系内的线段GH的两个端点的坐标为G（3，3），H（0，1）．将线段GH绕点H顺时针旋转90°得到线段KH．求点K的坐标．
（3）平面直角坐标系内有两点P（a，b）、M（-2，1），将点P绕点M逆时针旋转90°得到点Q，请你直接写出点Q的坐标．
【答案】分析：（1）根据△ABC为等腰直角三角形可知AB=BC，利用互余关系可证∠DAB=∠CBE，则△ADB≌△BEC，AD=BE，DB=EC，证明结论；
（2）过G、H作y轴的垂线段GG′、KK′，垂足为G′、K′，由（1）的结论可知KK′=G′H，K′H=GG′，根据线段的和差关系求线段K′O的长，根据K点在第四象限确定K点坐标；
（3）仿照（1）（2）构造两个全等三角形，再利用坐标与线段长的关系，线段的和差关系求解．
解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠BEC=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DBA+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，DB=EC，又DE=DB+BE，
∴DE=AD+CE；
（2）解：过G、H作y轴的垂线段GG′、KK′，垂足为G′、K′，
∵G（3，3），H（0，1），
∴GG′=3，G′O=3，HO=1，
∴G′H=3-1=2，
根据（1）同理可得KK′=G′H=2，K′H=GG′=3，
∴K′O=K′H-HO=3-1=2，
∵点K在第四象限∴点K的坐标为（2，-2）；
（3）点Q的坐标为（-1-b，3+a）．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质．关键是会根据图形确定点的坐标与有关线段长的关系．
（2）过G、H作y轴的垂线段GG′、KK′，垂足为G′、K′，由（1）的结论可知KK′=G′H，K′H=GG′，根据线段的和差关系求线段K′O的长，根据K点在第四象限确定K点坐标；
（3）仿照（1）（2）构造两个全等三角形，再利用坐标与线段长的关系，线段的和差关系求解．
解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠BEC=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DBA+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，DB=EC，又DE=DB+BE，
∴DE=AD+CE；
（2）解：过G、H作y轴的垂线段GG′、KK′，垂足为G′、K′，
∵G（3，3），H（0，1），
∴GG′=3，G′O=3，HO=1，
∴G′H=3-1=2，
根据（1）同理可得KK′=G′H=2，K′H=GG′=3，
∴K′O=K′H-HO=3-1=2，
∵点K在第四象限∴点K的坐标为（2，-2）；
（3）点Q的坐标为（-1-b，3+a）．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质．关键是会根据图形确定点的坐标与有关线段长的关系．
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