题目内容
多项式5x2+10y2-6x+4y-12xy+31的最小值为 ．
考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方
专题：
分析：根据配方法将原式写成完全平方公式的形式，再利用完全平方公式最值得出答案．
解答：解：∵5x2+10y2-6x+4y-12xy+31，
=4x2-12xy+9y2+x2-6x+9+y2+4y+4+18，
=（2x-3y）2+（x-3）2+（y+2）2+18，
∴当（2x-3y）2=0，（x-3）2=0，（y+2）2=0时，原式最小，
∴多项式5x2+10y2-6x+4y-12xy+31的最小值为18，
故答案为：18．
=4x2-12xy+9y2+x2-6x+9+y2+4y+4+18，
=（2x-3y）2+（x-3）2+（y+2）2+18，
∴当（2x-3y）2=0，（x-3）2=0，（y+2）2=0时，原式最小，
∴多项式5x2+10y2-6x+4y-12xy+31的最小值为18，
故答案为：18．
点评：本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2；配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
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