Question

已知（x+y+z）²≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为________．

Answer 1

3
分析：根据完全平方公式的应用得出（x²+y²+z²）≥（n-2）（xy+yz+zx），进而得出（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），再利用xy+yz+zx＞0时，1≥n-2，以及xy+yz+zx＜0时，1≤n-2，分别得出即可．
解答：（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx≥n（xy+yz+zx），
（x²+y²+z²）≥（n-2）（xy+yz+zx）（1），
因为x²+y²≥2xy，
y²+z²≥2yz，
z²+x²≥2zx，
即2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+zx），
（x²+y²+z²）≥（xy+yz+zx）（2）
由（1）（2）可知，要使（1）恒成立，只需使
（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），
xy+yz+zx=0时，等号恒成立，n可以取全体实数R，
xy+yz+zx＞0时，1≥n-2，n最大取3，
xy+yz+zx＜0时，1≤n-2，n最小取3．
故答案为：3．
点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，根据已知得出（x²+y²+z²）≥（n-2）（xy+yz+zx）与（x²+y²+z²）≥（xy+yz+zx）是解决问题的关键．