Question

如图，抛物线E：y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。
（1）求F的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将抛物线E的解析式改为y=ax²+bx+c，试探索问题（2）。

Answer 1

解：（1）当y=0时，，解得x₁=-3，x₂=-1，
∴A、B点坐标分别为（-3，0）、（-1，0），
当x=0时，y=3，
∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，
∴D、C坐标为（3，0）、（1，0），
设F的解析式为，

∴a=1，b=-4，
∴F的解析式为；
（2）存在。假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为3。
若在抛物线F上，当y=3时，，则x₁=0，x₂=4，
∴N点坐标为（4，3），
∴MN=4，
由（1）可求AC=4，
∴MN=AC，
∴四边形ACNM为平行四边形。
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（4，3）或（-4，3）；
（3） 存在。假设MN∥AC，
∴N点的纵坐标为c。
设y=0，
∴
∴，
∴A点坐标为（，0），B点坐标为（，0），
∴C点坐标为（，0），
∴AC=
在抛物线E上，
当y=c时，，x₁=0，x₂=，
∴N点坐标为（，0） NM=0-（）=，
∴NM=AC，
∴四边形ACMN为平行四边形，
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（，c）或（，c）。