Question

【题目】如图，四边形OABC为矩形，OA=4，OC=5，正比例函数y=2x的图像交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s．

（1）求点D的坐标；

（2）若PQ∥OD，求此时t的值？

（3）是否存在时刻某个t，使S△DOP=S△PCQ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；

（4）当t为何值时，△DPQ是以DQ为腰的等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）D（2，4）；（2）；（3）存在，t的值为2 ；（4）当或或时，△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形

【解析】

（1）由题意得出点D的纵坐标为4，求出y=2x中y=4时x的值即可得；

（2）由PQ∥OD证△CPQ∽△COD，得，即，解之可得；

（3）分别过点Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC与点E、F，对于直线y=2x，令y=4求出x的值，确定出D坐标，进而求出BD，BC的长，利用勾股定理求出CD的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE与三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，高QE表示出三角形PQC面积，再表示出三角形ODP面积，依据S△DOP=S△PCQ列出关于t的方程，解之可得；

（4）由三角形CQE与三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，进而利用勾股定理表示出PQ2，DP2，以及DQ，分两种情况考虑：①当DQ=DP；②当DQ=PQ，求出t的值即可．

解：（1）∵OA=4

∴把代入得

∴D（2，4）．

（2）在矩形OABC中，OA=4，OC=5

∴AB=OC=5，BC=OA=4

∴BD=3，DC=5

由题意知：DQ=PC=t

∴OP=CQ=5t

∵PQ∥OD

∴

∴

∴ ．

（3）分别过点Q、D作QE⊥OC， DF⊥OC交OC与点E、F

则DF=OA=4

∴DF∥QE

∴△CQE ∽△CDF

∴

∴

∴

∵ S△DOP=S△PCQ

∴

∴，

当t=5时，点P与点O重合，不构成三角形，应舍去

∴t的值为2．

（4）∵△CQE ∽△CDF

∴

∴

∴

①当时，，

解之得：

②当时，

解之得：

答：当或或时，△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形．