Question

在矩形AOCB中，边AO=2，OC=6，∠AOC的角平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒

2

个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC方向移动，设移动时间t秒．
（1）当点P移动到点D时求出发时t的值；
（2）设△OPQ与梯形ODBC重叠部分面积为S，直接写出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
（3）求当t为何值时，△PQB为直角三角形．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；
（2）找出界点，分别进行讨论0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4这些时间段的情况，即可求出S；
（3）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可．

解答：（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2

2

，
∴t=

2 2

2

=2；
 
（2）①当0≤t＜2时，
如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=

2

t，
∴OG=PG=t，
∵OQ=2t，
∴S=

1

2

×2t×t=t²；
②当2≤t＜3时，
PQ交AB于点E，则△PDE∽△POQ
PD=

2

t-2

2

，OP=

2

t，
S_△POQ=

1

2

×2t×t=t²，
S_△PDE=S_△POQ×（

PD

OP

）²=t²-4t+4，
S=S_△POQ-S_△PDE=t²-（t²-4t+4）=4t-4；
③当3≤t＜4时，
由∠POQ=45°，OP=

2

t，OQ=2t，得△OPQ运动过程中始终是等腰直角三角形，
设PQ与BC交于点F，可得△FCQ是等腰直角三角形，
则CQ=CF=2t-6，
S_△FCQ=

1

2

×（2t-6）²=2t²-12t+18，
S=S_△POQ-S_△PDE-S_△FCQ=t²-（t²-4t+4）-（2t²-12t+18）=-2t²+16t-22；
④当t≥4时，
S=S_ODBC=

1

2

×（DB+OC）×BC=

1

2

×（4+6）×2=10；
           
（3）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．

如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=

2

t，
∴OG=PG=t，
∴点P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，则有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，
∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，
整理得：t²-10t+20=0，
解得：t=5±

5

．
∴当t=2或t=5+

5

或t=5-

5

时，△PQB为直角三角形．

解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，
易知∠OPQ=90°，
∴BQ∥OD，
∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2，
∴OQ=4，
∴2t=4，
∴t=2，

②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，
作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，
则易证∠PBM=∠CBQ，
∴△PMB∽△QCB
∴

PM

MB

=

QC

BC

，
∴CB•PM=QC•MB，
∴2（t-2）=（2t-6）（6-t），
化简得t²-10t+20=0，
解得：t=5±

5

，
∴t=5-

5

； 
③如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，
作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，
则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC，
∴△PMB∽△QCB，
∴

PM

MB

=

QC

BC

，
∴CB•PM=QC•MB，
∴2（t-2）=（2t-6）（t-6），
化简得t²-10t+20=0，
解得：t=5±

5

，
∴t=5+

5

．
综上可知当t=2或t=5+

5

或t=5-

5

时，△PQB为直角三角形．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度较大．