题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．（1）△EFG的边长是______（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在______；
（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．
【答案】分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；
（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；
②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；
（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．
解答：解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF-BE=2x-x=x，
∴△EFG的边长是x；
过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
∴DH=CH•tan30°=3×
=
．
当x=2时，BE=EF=2，
∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF=
=2，
∴△DEF是等边三角形，
∴点G的位置在D点．
故答案为x，D点；
（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=
x2；
②分两种情况：
Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
∴GM=
（3x-6），
由勾股定理得：MN=
（3x-6），
∴S△GMN=
×GM×MN=
×
（3x-6）×
（3x-6）=
（3x-6）2，
所以，此时y=
x2-
（3x-6）2=
；
Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=
（6-x）2=
；
（3）当0＜x≤2时，
∵y=
x2，在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x=2时，y最大=
；
当2＜x＜3时，∵y=
，在x=
时，y最大=
；
当3≤x≤6时，∵y=
，在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x=3时，y最大=
．
综上所述：当x=
时，y最大=
．
点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．
（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；
②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；
（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．
解答：解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF-BE=2x-x=x，
∴△EFG的边长是x；
过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
∴DH=CH•tan30°=3×
=．当x=2时，BE=EF=2，
∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF=
=2，∴△DEF是等边三角形，
∴点G的位置在D点．
故答案为x，D点；
（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=
x2；②分两种情况：
Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
∴GM=
（3x-6），由勾股定理得：MN=
（3x-6），∴S△GMN=
×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）2，所以，此时y=
x2-（3x-6）2=；Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=
（6-x）2=；（3）当0＜x≤2时，
∵y=
x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大=
；当2＜x＜3时，∵y=
，在x=时，y最大=；当3≤x≤6时，∵y=
，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大=
．综上所述：当x=
时，y最大=．点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．
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