Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG。

求证：（1）AF＝CG；

（2）CF＝2DE

Answer 1

证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB

∴∠BCG=∠CAB=45°

又∵∠ACF=∠CBG，AC=BC

∴△ACF≌△CBG（ASA）

∴CF=BG，AF=CG.

              （2）延长CG交AB于点H.

∵AC=BC，CG平分∠ACB

∴CH⊥AB，H为AB中点

又∵AD⊥AB

∴CH∥AD

∴G为BD的中点

∴BG=DG

∠D=∠EGC

∵E为AC中点

∴AE=EC

又∵∠AED=∠CEG

∴△AED≌△CEG（AAS）

∴DE=EG

∴BG=DG=2DE

由（1）得CF=BG

∴CF=2DE.