题目内容
（2003•福州）已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）
【答案】分析：（1）可在直角三角形BPE中，用x表示出BE的长；同理在直角三角形ECF中，用EC表示出CF的长；同理在直角三角形AFQ中，用AF表示出AQ的长；而AQ=y，由此可得出y，x的函数关系式．
（2）当P，Q重合时，y+x=2，然后联立（1）的函数式即可求出x的值即BP的长．
（3）当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=
CF=
（1-
）；
所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3
（1-
）．
而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+
+
≥2，x≥
；
所以当线段PE，FQ相交时，（
≤x≤2）
因为C=3
（1-
）中，C随x增大而减小．
所以3
（1-
）≤C≤3
（1-
），即
≤C≤2
；
所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为
≤C≤2
．
解答：
解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
∴∠BPE=30°，
而BP=x
∴BE=
x，
∴EC=2-
x
在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
∴∠FEC=30°，
∴FC=1-
x
同理，在△FAQ中可得AQ=
+
x
而AQ=y，
∴y=
+
x（0＜x≤2）
（2）当点P与点Q重合时，有AQ+BP=AB=2
∴x+y=2（6分）
∴x+y=2，y=
+
x，解得：x=
∴当BP的长为
时，点P与点Q重合；
（3）解：设三角形的周长为C，
当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=
CF=
（1-
）；
所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3
（1-
）．
而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+
+
≥2，x≥
；
所以当线段PE，FQ相交时，（
≤x≤2）
因为C=3
（1-
）中，C随x增大而减小．
所以3
（1-
）≤C≤3
（1-
），即
≤C≤2
；
所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为
≤C≤2
．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及一次函数的综合应用．
（2）当P，Q重合时，y+x=2，然后联立（1）的函数式即可求出x的值即BP的长．
（3）当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=
CF=
（1-
）；所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3
（1-
）．而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+
+
≥2，x≥
；所以当线段PE，FQ相交时，（
≤x≤2）因为C=3
（1-
）中，C随x增大而减小．所以3
（1-
）≤C≤3
（1-
），即
≤C≤2
；所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为
≤C≤2
．解答：
解：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
∴∠BPE=30°，
而BP=x
∴BE=
x，∴EC=2-
x在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
∴∠FEC=30°，
∴FC=1-
x同理，在△FAQ中可得AQ=
+
x而AQ=y，
∴y=
+
x（0＜x≤2）（2）当点P与点Q重合时，有AQ+BP=AB=2
∴x+y=2（6分）
∴x+y=2，y=
+
x，解得：x=
∴当BP的长为
时，点P与点Q重合；（3）解：设三角形的周长为C，
当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=
CF=
（1-
）；所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3
（1-
）．而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+
+
≥2，x≥
；所以当线段PE，FQ相交时，（
≤x≤2）因为C=3
（1-
）中，C随x增大而减小．所以3
（1-
）≤C≤3
（1-
），即
≤C≤2
；所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为
≤C≤2
．点评：本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及一次函数的综合应用．
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