题目内容
如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2-（m-1）x+m+4=0的两根，
（1）求a和b的值；
（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．
①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②若重叠部分的面积等于
平方厘米，求x的值．
【答案】分析：（1）首先根据一元二次方程根与系数的关系，得出用含m的式子表示a+b与ab的式子，然后由勾股定理得出一个关于m的方程，求出m的值，进而得出a和b的值；
（2）①由于S△BC'M=
×BC′×C'M，即y=
x×C'M．所以首先用含x的代数式表示C'M，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；
②把y=
代入函数解析式，即可求出x的值．
解答：解：（1）∵a、b是方程x2-（m-1）x+m+4=0的两根，
∴a+b=m-1，ab=m+4，
又∵a、b是直角△ABC的两直角边，
∴a2+b2=c2=25，
∴（m-1）2-2（m+4）=25，
解得m1=8，m2=-4（舍去）．
∴原方程为x2-7x+12=0，
解得a=4，b=3．
（2）由题意得，BC'：C'M=BC：AC，
∵BC'=4-x，故可得C'M=
（4-x），
①y与x之间的函数关系式为：
y=
（4-x）2，（0≤x≤4）．
②代入
=
（4-x）2，
得x1=3，x2=5（舍去）．
∴x的值为3．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，三角形的面积公式等．在判断所求的解是否符合题意时，应舍去不合题意的解．
（2）①由于S△BC'M=
×BC′×C'M，即y=
x×C'M．所以首先用含x的代数式表示C'M，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；②把y=
代入函数解析式，即可求出x的值．解答：解：（1）∵a、b是方程x2-（m-1）x+m+4=0的两根，
∴a+b=m-1，ab=m+4，
又∵a、b是直角△ABC的两直角边，
∴a2+b2=c2=25，
∴（m-1）2-2（m+4）=25，
解得m1=8，m2=-4（舍去）．
∴原方程为x2-7x+12=0，
解得a=4，b=3．
（2）由题意得，BC'：C'M=BC：AC，
∵BC'=4-x，故可得C'M=
（4-x），①y与x之间的函数关系式为：
y=
（4-x）2，（0≤x≤4）．②代入
=
（4-x）2，得x1=3，x2=5（舍去）．
∴x的值为3．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，三角形的面积公式等．在判断所求的解是否符合题意时，应舍去不合题意的解．
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