Question

4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D、E．
（1）求证：①∠BAD=∠ACE；②BD=AE；
（2）请写出BD，DE，CE三者间的数量关系式，并证明．

Answer 1

分析 （1）①根据∠BAD+∠CAE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，即可得出∠BAD=∠ACE；
②根据全等三角形的判定方法（AAS）得出△ABD≌△CAE，从而得出BD=AE；
（2）根据△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，再根据AE=AD+DE，即可得出BD，DE，CE三者间的数量关系．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥MN，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE；
②∵BD⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE；

（2）∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=CE+DE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是AAS、直角三角形的性质，关键是通过证明两个三角形全等得出相等的线段．