Question

【题目】如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，E为⊙O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知，则tan∠ACE＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

解直角三角形得到，根据相似三角形的性质得，设BD=x，AE=2x，由圆周角定理得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到AE=2，BE=6，根据三角函数的定义即可得到结论．

解：连接AE，

∵tan∠BAC＝，

∴设AC＝2m，BC＝m，

∴AB＝m＝2，

∴m＝2，

∴AC＝4，BC＝2，

∵∠BEC＝∠BAC，

∴tan∠BEC＝，

∵DE＝5，

同理求得CE＝，CE＝2，

∵∠CED+∠EDC＝∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠EDC＝∠ABC，

∵∠EDC+∠BDC＝∠ABC+∠AEC＝180°，

∴∠AEC＝∠BDC，

∵∠DBC＝∠EAC，

∴△AEC∽△BDC，

∴＝2，

∴设BD＝x，AE＝2x，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE2+BE2＝AB2，

∴（2x）2+（5+x）2＝（2）2，

∴x＝1（负值舍去），

∴AE＝2，BE＝6，

∴tan∠ACE＝tan∠ABE＝．

故答案为．