Question

初一（10）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两点A、B的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；                                  

（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.                                                                                                                                                                                                                                      

阅读后回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。

（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是                                 ；

若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°， 方案（Ⅱ）是否成立？                           .        

                                             

 

Answer 1

【答案】

（1）方案（Ⅰ）可行，理由见解析（2）方案（Ⅱ）可行，理由见解析（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）成立，理由见解析

【解析】解：（1）方案（Ⅰ）可行；

∵DC=AC，EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE

∴△ACB≌△DCE（SAS）

∴AB=DE

∴测出DE的距离即为AB的长

故方案（Ⅰ）可行．

（2）方案（Ⅱ）可行；

∵AB⊥BC，DE⊥CD

∴∠ABC=∠EDC=90°

又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD

∴△ABC≌△EDC

∴AB=ED

∴测出DE的长即为AB的距离

故方案（Ⅱ）可行．

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．

若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）成立；

理由：∵∠ABD=∠BDE≠90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD，

∴△ACB≌△DCE（ASA）

∴AB=DE

∴测出DE的距离即为AB的长

（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；

（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，故此时方案（Ⅱ）成立