Question

【题目】如图,已知等腰，其中，，、为斜边上的两个动点（比更靠近A），满足。

（1）求证：△AOF∽△BEO

（2）求的值.

（3）作于，于，求的值 .

（4）求线段长的最小值.(提示：必要时可以参考以下公式：当，时，或).

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3） ；（4），当，时，取得最小值

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质，得∠A=∠B=45°；根据三角形的外角的性质，得∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，结合∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，证明∠AFO=∠BOE，从而根据两角对应相等，即可证明△AOF∽△BEO；

（2）根据相似三角形的性质，得，即AFBE=4；

（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b．根据等腰直角三角形的性质，可以分别用a表示ME，DF，BN的长；根据△MOE∽△DOF，就可求得OMON的值；

（4）用a和b表示EF的长，从而分析EF的最小值．

解：（1）∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°．

∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，

又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，

∴∠AFO=∠BOE．

∴△AOF∽△BEO．

（2）∵△BOE∽△AOF，

，

∴AFBE=4．

（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b．

则易得ME=2-a，，

，

∵∠EMO=∠ODF=90°，

∵∠EOF=45°，

∵∠MOE+∠EOD=∠FOD+∠EOD=45°

∴∠MOE=∠DOF，

∴△MOE∽△DOF，

，

，

∴ab=2，

即OMON=2．

（4）解：EF＝ABAEBF＝，

所以，当 时，EF取得最小值.