Question

已知平行四边形，．点为线段上一点（端点除外），连结，连结，并延长交的延长线于点，连结．
（1）当为的中点时，求证与的面积相等；
（2）当为上任意一点时，与的面积还相等吗？说明理由．

Answer 1

（1）证明：点为的中点，，
又，
，
两点到的距离相等，为，
则，
，
．
（2）解：法一：当为上任意一点时，设，则，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，边上的高，
　　，
　　，
又在中，边上的高，
，
．
法二：为平行四边形，
，
又，
，
即．

（1）S_△EFC=FC•高h，S_△ABF=BF•高h′，而△EFC与△ABF的面积相等且当F为BC的中点，所以必须证明h=h′，而h=ABsinα，h′=EBsinα，所以证明方向转化为求证EB=AB，而EB=CD，可利用证△EBF≌△DCF来解答，因此便可求证所求；
（2）由于△ABC和△CDE为等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因为△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．