题目内容
28、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为
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（直接写出结果，不需要写出计算过程）．分析：（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF；
（2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；
②由题中条件直接求得△ABC的面积．
（2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；
②由题中条件直接求得△ABC的面积．
解答：证明：
（1）在正方形ABCD中
CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
∴∠CDF=∠B=90°．
∵DF=BE，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
∴∠ECG=∠FCG=45°．
∵CE=CF，CG=CG，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=FG．
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD．
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
由（1）和题设知：DE=DG+BE，
设DG=x，则AD=12-x，DE=x+6，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2
∴62+（12-x）2=（x+6）2解得x=4．
∴DE=6+4=10；
②△ABC的面积为15．
（1）在正方形ABCD中
CB=CD，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．
∵DF=BE，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
∴∠ECG=∠FCG=45°．
∵CE=CF，CG=CG，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=FG．
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD．
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
由（1）和题设知：DE=DG+BE，
设DG=x，则AD=12-x，DE=x+6，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2
∴62+（12-x）2=（x+6）2解得x=4．
∴DE=6+4=10；
②△ABC的面积为15．
点评：此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．难度稍大，考查学生综合运用数学知识的能力．
练习册系列答案
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26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
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