题目内容

在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作第2个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第3个正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2个正方形的面积为；第2011个正方形的面积为．

$\text{[math]}$ 5× $\text{[math]}$
分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出AB，BA₁，求出边长A₁C= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求出面积即可；求出第3个正方形的边长是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，面积 $\text{[math]}$ ；第4个正方形的面积是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ；依此类推得出第2011个正方形的边长是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，面积是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，即可得出答案．
解答：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AB=AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BA₁= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，面积是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×5= $\text{[math]}$ ；
同理第3个正方形的边长是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，面积是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
第4个正方形的边长是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，面积是[ $\text{[math]}$ ³]²× $\text{[math]}$ ；
…
第2011个正方形的边长是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，面积是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =5× $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ，5× $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．