题目内容
（2002•十堰）如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是两圆的公切线，B、C为切点，则有AB⊥AC．
（1）当⊙O1向左运动，⊙O2向右运动到图1的位置时，BC仍为两圆的公切线，O1O2交⊙O1于A点，交⊙O2于D点，BA、CD的延长线相交于E点．请判断EB与EC是否垂直？并证明你的结论；
（2）当⊙O1向右运动，⊙O2向左运动到图2的位置时，两圆相交于A、D两点，BC仍与两圆相切．若∠D=46°，试求∠A的度数．
【答案】分析：（1）连接过切点的半径，根据切线的性质定理，得到垂直，进一步证明平行线，根据平行线的性质，得到同旁内角互补，再结合弦切角定理，即可证明∠ABC+∠BCD=90°，根据三角形的内角和定理，即可证明不垂直；
（2）连接公共弦，根据弦切角定理，即可求得∠A所在的两个三角形的和；从而根据三角形的内角和定理，求得∠A的度数．
解答：
解：（1）连接O1B，O2C，
则O1B⊥BC，O2C⊥BC
则O1B∥O2C
∴∠O1+∠O2=180°
∴∠ABC+∠BCD=90°
则EB与EC不垂直；
（2）连接AD，
根据弦切角定理，得：
∠ABC=∠ADB，∠ACB=∠ADC
∴∠ABC+∠ACB=∠BDC=46°
∴∠BAC=180°-46°=134°．
点评：综合运用了切线的性质定理和弦切角定理．连接过切点的半径以及相交两圆的公共弦是常见的辅助线．
（2）连接公共弦，根据弦切角定理，即可求得∠A所在的两个三角形的和；从而根据三角形的内角和定理，求得∠A的度数．
解答：
解：（1）连接O1B，O2C，则O1B⊥BC，O2C⊥BC
则O1B∥O2C
∴∠O1+∠O2=180°
∴∠ABC+∠BCD=90°
则EB与EC不垂直；
（2）连接AD，
根据弦切角定理，得：
∠ABC=∠ADB，∠ACB=∠ADC
∴∠ABC+∠ACB=∠BDC=46°
∴∠BAC=180°-46°=134°．
点评：综合运用了切线的性质定理和弦切角定理．连接过切点的半径以及相交两圆的公共弦是常见的辅助线．
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