Question

20．观察下列式子：（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
（1）根据以上式子，请直接写出（xⁿ-1）÷（x-1）的结果（n为正整数）；
（2）计算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；
（2）根据规律，可得答案．

解答 解：（1）原式=x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1 
（2）∵（2-1）（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2+1）=2²⁰¹⁶-1
∴1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1．

点评 本题考查了整式的除法，发现规律：（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1是解题关键．