Question

（2013•宛城区一模）如图为二次函数y=ax²+bx+c的图象，现有下列说法：①abc＜0；②方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中，所有正确的说法序号为

②④⑤

．

Answer 1

分析：利用抛物线开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴交点位置得到a＞0，b＜0，c＜0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），（3，0）可对②进行判断；根据当x=1时，y＜0可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=1和二次函数的性质可对④进行判断；根据函数的最值得到x=1时，y有最小值为a+b+c，则a+b+c≤am²+bm+c，
于是可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵对称轴x=-

b

2a

在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴x=-1或x=3时，y=0，所以②正确；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，所以④正确；
∵x=1时，y有最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am²+bm+c，
∴a+b+≤m（am+b），所以⑤正确．
故答案为②④⑤．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．