Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE

（1）求证：△ABC∽△CBD；

（2）求证：直线DE是⊙O的切线．

　

Answer 1

（1）证明：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BDC，

又∵∠B=∠B，

∴△BCD∽△BAC；

（2）连结DO，如图，

∵∠BDC=90°，E为BC的中点，

∴DE=CE=BE，

∴∠EDC=∠ECD，

又∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切．