Question

已知：△ACB与△DCE为两个有公共顶点C的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC．把△DCE绕点C旋转，在整个旋转过程中，设BD的中点为N，连接CN．
（1）如图①，当点D在BA的延长线上时，连接AE，求证：AE=2CN；
（2）如图②，当DE经过点A时，过点C作CH⊥BD，垂足为H，设AC、BD相交于F，若NH=4，BH=16，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）延长CN至点K，使NK=CN，连接DK，利用已知条件证明△DNK≌△BNC，所以可得DK=BC=AC，∠KDC+∠DCB=180°，又因为∠DCK=∠ACE，DK=AC，CD=CE，由三角形的全等可得AE=CK，所以AE=2CN；
（2）延长CN交DE于点P，延长CH交DE于点M，由（1）问可知∠DCN=∠AEC=45°，再由已知条件可证明△DPN≌△CPM，所以DN=CM=20，易证△CHN∽△DHM，所以

NH

HM

=

CH

DH

，
设CH为x，HM为（20-x），所以4×24=x×（20-x），解方程可得CH=8或CH=12，因为tan∠CBH=

CH

BH

=

CF

CB

，所以再分别分①当CH=8时和②当CH=12时，求出符合题意的FC的值即可．

解答：（1）证明：延长CN至点K，使NK=CN，连接DK，
∵∠DCA+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠DCB+∠ACE=180°，
∴∠KDN=∠CBN，
∴DK∥BC，
∵DN=NB，CN=NK，∠DNK=∠BNC，
∴△DNK≌△BNC，
∴DK=BC=AC，
∴∠KDC+∠DCB=180°，
∵∠DCK=∠ACE，
又∵DK=AC，CD=CE，
∵△DNC≌△CAE，
∴AE=CK
∴AE=2CN；

（2）解：延长CN交DE于点P，延长CH交DE于点M，
由（1）问可知∠DCN=∠AEC=45°，
∴∠DCP=∠CDP=45°，
∴∠CPD=90°，DP=CP，
∵∠PDN+∠DNP=90°，∠CNH+∠HCN=90°，
又∵∠CNH=∠DNP，
∴∠PDN=∠PCM，
∴△DPN≌△CPM，
∴DN=CM=20，
∵△CHN∽△DHM，
∴

NH

HM

=

CH

DH

，
设CH为x，HM为（20-x），
∴4×24=x×（20-x），
解得：x₁=8，x₂=12，
∴CH=8或CH=12，
∵tan∠CBH=

CH

BH

=

CF

CB

，
①当CH=8时，FH=NH=4，N、F重合，CH=8舍去；
②当CH=12时，可求CB=20，
∴CF=15．

点评：本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定、一元二次方程的运用，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是考查学生能根据题意得出规律，题型较好，有一定的难度．