题目内容

在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上的动点．
（1）当OA= $数学公式$ AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与AB交于D，连接CD（如图），则图中相似的三角形有______；
（2）当OA满足 $数学公式$ AC＜OA＜AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆交AB于D，交AC的延长线于E（如图）．
①请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字母），并加以证明；
②若⊙O的半径为5，AD=8，求tanB．

解：（1）△ACD∽△ABC，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．

（2）①连接DE，则△ADE∽△ACB，理由如下：
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB．
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
② $\text{[math]}$ ．
由①知△ADE∽△ACB，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接CD，易得OA= $\text{[math]}$ AC，且AC是圆的直径，根据直径所对的圆周角就得到∠CDB=90°，而∠ACB=90°，所以图中就有三对相似三角形；
（2）①当OA满足 $\text{[math]}$ AC＜OA＜AC时，连接DE，则△ADE∽△ACB．AE是圆的直径可以得到∠ADE=90°，再根据已知∠ACB=90°，就可以证明△ADE∽△ACB了．②首先利用勾股定理求出DE，然后利用相似三角形的对应边成比例求出tanB的值了．
点评：此题是探究性试题，要理解OA满足的限制条件，根据条件去探究才能正确得到结论．此题主要考查了相似三角形的判定与性质．

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如图，在△ABC中，AC=

17、在△ABC中，AC=5，中线AD=4，那么边AB的取值范围为（　　）

B、3＜AB＜13

C、5＜AB＜13

D、9＜AB＜13

如图所示，在△ABC中，AC与⊙O相切于点A，AC=AB=2，⊙O交BC于D．
（1）∠C=

°；
（2）BD=

；
（3）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

（2013•松江区二模）如图，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=

，以CA为半径的⊙C与AB、BC分别交于点D、E，联结AE，DE．
（1）求BC的长；
（2）求△AED的面积．