Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．

Answer 1

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC．
分析：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．