题目内容
(2003·江西)如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．
(1)求证：AF=EC；
(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作
．
①x∶b为何值时，直线
经过原矩形的一个顶点？
②在直线
经过原矩形的一个顶点的情形下，连接
，直线
与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系，它们就垂直？
答案：略
解析：
解析：
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解 (1)∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，则有
 ，
 ，
又 EC=b－x，∴ AF=EC．(2)①当直线
a) 解法 1∵  ．
∴  ．
即  ，∴ ．
当直线  经过原矩形的顶点A时，如图b．
∵  ，
∴  ．∴ ．
即 2(b－x)=x＋b，解得  ．
解法 2 如图a，过F和FN⊥BC于N．∵  ，
 ，
∴ Rt△FNE≌Rt△DCE．∴ NE=EC．又BN=AF=EC，∴  ．∴ ．
如图 b，过 作 ⊥BC于M．
∵  ，
∴  ．
∴ BE=EM．∵ ，
∴  ．∴ ．
∴当 x∶b的值为 或 时，直线 经过原矩形的一个顶点．
②如图 a，当直线 经过原矩形的顶点D时， ．
证明：连接 BF．∵ ∴四边形BFDE是平行四边形．
 ．又  ，
 ．又 ．
四边形  是平行四边形．
 ．
如图 b，当直线 经过原矩形的顶点A时，显然 与EF不平行，设直线EF与 的交点为G．
∵  ，
又∠ BEG=FEM，∴ ．
若  ，则 ．
在  的情况下，不妨设∠EBG=α，
则 则有 ∴ ∵a＞0，b＞0， ∴ 容易推得，当 |
经过原矩形的顶点D时，如图a．
．
，
．
．
时，
与EF垂直．
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所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交
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