Question

如图：矩形OABC的顶点O为原点，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在OC边的点D处，点A、C的坐标分别为（8，0），（0，10）
（1）直接写出B、D两点的坐标：B（

8，10

，）   D（

0，6

，）
（2）在线段AE上存在一点P使P到B的距离等于点P到OC的距离，这个相等的距离是

5

，并说明理由．
（3）如图2：动点M，N同时从点O出发，点M以每秒8个单位长度的速度沿折线OAD按O→A→D的路线运动，点N以每秒3个单位长度的速度沿折线ODA按O→D→A的路线运动，当M，N相遇时，它们都停止运动．设M、N同时出发t秒时，△MON的面积是S，写出S与t的函数关系式（不需要写自变量取值范围，直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）根据点的坐标的表示法即可得到B的坐标，根据折叠的性质可以得到AD=AB=10，利用勾股定理求得OD的长，则D的坐标可以求得；
（2）易证四边形PBED是菱形，据此即可求解；
（3）分M、N分别在OA、OD上和其中一点在AD上以及MN都在AD上三种情况进行讨论．

解答：解：（1）B（8，10），
在直角△AOD中，AD=AB=10，则OD=

AD2-OA2

=

102-82

=6，
则D的坐标是：（0，6）；
（2）5  理由：由折叠得：PB=PD
则PD即为点P到CO的距离．
∴PD⊥CO 
易证四边形PBED是菱形．
∴PD=DE=5；
（3）M由O到A的时间是1秒，N由O到D的时间是2秒，相遇的时间是

24

11

秒．
①当0≤t≤1时，M、N分别在OA、OD上，OM=8t，ON=3t，
则s=

1

2

OM•ON=12t²
②当1＜t＜2时，M在AD上，N在OD上，如图3．
作MF⊥OA，则△ADO∽△AMF，
∴

AF

OA

=

AM

AD

，
即

AF

8

=

8t-8

10

，
解得：AF=

4

5

（8t-8），
则OF=8-

4

5

（8t-8）=-

32

5

t+

72

5

，
S=

1

2

ON•OF=

1

2

×3t×（-

32

5

t+

72

5

）=

108

5

t-

48

5

t²；
③当2≤t≤

24

11

时，M、N都在AD上，则MN=10-（3t-6）-（8t-8）=24-11t，
作OG⊥AD于点G．则OG=

OD•OA

AD

=

24

5

，
s=

288

5

-

132

5

t
故s=

1

2

MN•OG=

1

2

×

24

5

×（24-11t）=

288

5

-

132

5

t．

点评：本题考查了图形折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定定理，正确进行讨论是关键．