Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若DC=6，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=60°，∠DAC=∠ACB．
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB=60°÷2=30°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴AB⊥AC．

（2）解：过点A作AE⊥BC于E，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
又∵AB=DC=6，
∴BE=3，
∴AE===3，
∵∠ACB=30°，AB⊥AC，
∴BC=2AB=12，
∴S_梯=（AD+BC）•AE=（6+12）•3=27．
分析：（1）根据等腰梯形在同一底上的两个角相等和角平分线的定义，可以求得∠ACB=30°，从而证明结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，根据30°所对的直角边是斜边的一半，求得BC=2AB=12，BE=3，再根据勾股定理求得AE的长，进而求得梯形的面积．
点评：此题主要是能够构造30°的直角三角形进行计算．