Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，

联结EB交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=，AB=5，求AE的长．

Answer 1

解：（1）联结AD

   ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB =90°  --- 1分

∵AB=AC，∴CD=BD

∵OA=OB，∴OD//AC

∴OD⊥BE        -------------------------------- 2分

（2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5, DE=

∴AC=AB=5,  BC=2DE=2,         --------------- 3分

在△ABE、△BCE中，∠CEB=∠AEB=90°，则有

设AE=x, 则           -------- 4分

解得：x=3          

∴AE=3                  ------------- 5分

方法二：∵OD⊥BE，∴BD=DE，BF=EF     -----------3分

设AE=x,∴OF=，在△OBF、△BDF中，∠OFB=∠BFD=90°

∴      

∵DE=，AB=5，   ∴      -----------4分

解得：x=3，   ∴AE=3                           ----------5分

方法三：∵BE⊥AC AD⊥BC,

∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,     -----------------------------3分

∴BC·AD=AC·BE

∵BC=2DE=2，AC=AB=5

∴BE=4 ,                       -------------------4分

∴AE=3                       --------------------------5分