Question

如图，直线l：y=

3

4

x+3交x轴于A，交y轴于B．O为坐标原点．点P为l上一动点，Q为坐标轴上一动点，X为O、A、B中任意选取一点．当△PQX与△AOB全等时，写出P点坐标（不要计算过程，但要在图中有痕迹）．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：分类讨论：（1）△PQA≌△AOB；（2）△PQB≌△AOB；（3）点P和点A重合，△PQO≌△AOB；（4）点P和点B重合，△PQO≌△AOB；分别作出图形，即可求得点P坐标，即可解题．

解答：解：（1）△PQA≌△AOB；如图1，分3种情况：

①∠AP'Q'=90°，
∵

AP′=AO ∠P′AQ′=∠BAO AQ′=AB

，
∴△PQA≌△AOB，（SAS）
∴AP'=OA=4，
∵∠BAO=∠P'AQ'，
∴cos∠P'AQ'=

4

5

，sin∠P'AQ'=

3

5

，
作P'H⊥x轴，则AH=AP'•cos∠PAQ=

16

5

，P'H=AP'•cos∠PAQ=

12

5

，
∴点P'坐标（-

36

5

，-

12

5

）；
②∠AQP=90°，
∵

AP=BA ∠PAQ=∠BAO AQ=AO

，
∴△PQA≌△AOB，（SAS）
∴AQ=OA=4，PQ=3，
∴点P坐标（-8，-3）；
③∠AP''Q''=90°，
∵

AB=AQ″ ∠P″AQ″=∠BAO AO=AP″

，
∴△PQA≌△AOB，（SAS）
∴AP''=OA=4，P''Q''=3，
P''G=AP''•sin∠BAO=

12

5

，AG=AP''•cos∠BAO=

16

5

，
∴OG=

4

5

，
∴点P坐标（-

4

5

，

12

5

）；
（2）△PQB≌△AOB；如图2，

①∠BPQ=90°，
∵

AB=BP′ ∠ABO=∠P′BQ′ OB=OQ′

，
∴△PQB≌△AOB（SAS）
∴BP=OB=3，PQ=4，
作PS⊥y轴，
∵∠ABO=∠PBS，
∴cos∠PBS=

3

5

，sin∠PBS=

4

5

，
则BS=BP•cos∠PBS=

9

5

，
PS=BP•sin∠PBS=

12

5

，
∴点P坐标（

12

5

，

24

5

）；
②∠BQ'P'=90°，
∵

BO=PB ∠PBQ=∠ABO BQ=BO

，
∴△PQB≌△AOB，（SAS）
∴BQ'=OB=3，P'Q'=4，
∴点P坐标（4，6）；
（3）点P和点A重合，△PQO≌△AOB；如图3，

∵∠AOQ=90°，
∵

AO=AO ∠AOB=∠AOQ OB=OQ

，
∴△PQO≌△AOB，（SAS）
∴AO=PB，OQ=OB，
∴点P坐标（-4，0）；
（4）点P和点B重合，△PQO≌△AOB；如图4，

∵∠POQ=90°，
∵

AO=OQ ∠AOB=∠BOQ BO=BO

，
∴△PQO≌△AOB，（SAS）
∴AO=OQ，OQ=OP，
∴点P坐标（0，3）；
综上所述，P点坐标为（-

36

5

，-

12

5

）、（-8，-3）、（-

4

5

，

12

5

）、（

12

5

，

24

5

）、（4，6）、（-4，0）、（0，3）．

点评：本题考查了图形结合解题的能力，考查了一次函数于坐标轴交点的求解，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中分类讨论P点位置是解题的关键．