Question

【题目】提出问题：

（1）如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”.在“镖形”图中，与、、的数量关系为____.

（2）如图（2），已知平分，，，求的度数.

由（1）结论得：

所以 即

因为

所以

所以.

解决问题:

（1）如图（3），直线平分, 平分的外角,猜想与、的数量关系是______；

（2）如图（4），直线平分的外角, 平分的外角,猜想与、的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】提出问题：

（1）

（2）

解决问题：

（1）

（2）

【解析】

问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；

问题2：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；

解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；

解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

问题1：连接PO并延长．

则∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，

∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，

∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；

故答案为：∠AOC=∠A+∠C+∠P；

问题2：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠2+∠B=∠3+∠P，

∠1+∠P=∠4+∠D，

∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（∠B+∠D）=×（28°+48°）=38°；

解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴（180°-2∠1）+∠B=（180°-2∠4）+∠D，

在四边形APCB中，（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，

在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，

∴2∠P+∠B+∠D=360°，

∴∠P=180°-（∠B+∠D）；

解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B=（180°-2∠3）+∠D，

∠2+∠P=（180°-∠3）+∠D，

∴2∠P=180°+∠D+∠B，

∴∠P=90°+（∠B+∠D）．

故答案为：∠P=90°+（∠B+∠D）．