Question

17．如图，抛物线y=ax²+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）利用△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a²-4a=0，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；
（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴△=4a²-4a=0，解得a₁=0（舍去），a₂=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x+1；
（2）∵y=（x+1）²，
∴顶点A的坐标为（-1，0），
∵点C是线段AB的中点，
即点A与点B关于C点对称，
∴B点的横坐标为1，
当x=1时，y=x²+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），B（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．