Question

如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
（1）试判断△ACD的形状并说明理由．
（2）把△ACD沿直线AC翻折，使点D落在点D′处，CD′交AB于点E． 若重叠部分面积为4，求D′E的长．

Answer 1

分析：（1）由∠B=90°，AB=BC=4，利用勾股定理即可求得AC的长，然后利用勾股定理的逆定理，则可证得△ACD是直角三角形；
（2）由折叠的性质，可求得△ACD′的面积，又由重叠部分面积为4，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可得S_△AD′E：S_△AEC=D′E：EC=（4

2

-4）：4=（

2

-1）：1，继而可求得答案．

解答：解：（1）∵∠B=90°，AB=BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=32，
∴AC=4

2

，
∵AD=2，CD=6，
∴AD²=4，CD²=36，
∴AD²+AC²=CD²，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°；

（2）由折叠的性质可得：S_△ACD′=S_△ACD=

1

2

AD•AC=

1

2

×2×4

2

=4

2

，CD′=CD=6，
∵重叠部分面积为4，
即S_△AEC=4，
∴S_△AD′E=S_△ACD′-S_△AD′E=4

2

-4，
∵△AD′E与△AEC同高，
∴S_△AD′E：S_△AEC=D′E：EC=（4

2

-4）：4=（

2

-1）：1，
∵CD′=D′E+EC=6，
∴D′E=

2 -1

2 -1+1

×6=6-3

2

．

点评：此题考查了折叠的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．