题目内容
在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；
（2）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
分析：（1）△ABP与△PCE相似，根据矩形的性质和相似三角形的判定方法证明即可；
（2）由（1）可知△ABP与△PCE相似，所以
=
，即
=
，又因为PE∥BD，
=
，即
=
，所以
=
，利用已知数据即可求出BP的长．
（2）由（1）可知△ABP与△PCE相似，所以
| AB |
| PC |
| BP |
| CE |
| PC |
| CE |
| AB |
| BP |
| CP |
| CB |
| CE |
| CD |
| PC |
| CE |
| CB |
| CD |
| AB |
| BP |
| CB |
| CD |
解答：解：（1）△ABP与△PCE相似．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE；
（2）由（1）得△ABP∽△PCE，
∴
=
，即
=
，
∵PE∥BD，
∴
=
，即
=
，
∴
=
，
∵AB=CD=2，BC=AD=3，
∴BP=
=
．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE；
（2）由（1）得△ABP∽△PCE，
∴
| AB |
| PC |
| BP |
| CE |
| PC |
| CE |
| AB |
| BP |
∵PE∥BD，
∴
| CP |
| CB |
| CE |
| CD |
| PC |
| CE |
| CB |
| CD |
∴
| AB |
| BP |
| CB |
| CD |
∵AB=CD=2，BC=AD=3，
∴BP=
| AB•CD |
| CB |
| 4 |
| 3 |
点评：本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及比例式的性质，题目难度中等．
练习册系列答案
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