Question

已知：如图，在直角坐标平面xOy中，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，四边形OABC是边长为4的正方形，点E为BC的中点，且二次函数y=-x²+bx+c经过B、E两点．将正方形OABC翻折，使顶点C落在二次函数图象的对称轴MN上的点G处，折痕EF交y轴于点F．
（1）求二次函数y=-x²+bx+c的解析式；
（2）求点G的坐标；
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意可知B（4，4）、E（2，4），依据待定系数法即可求得解析式．
（2）根据正方形的性质，EB=2，根据MN∥y轴，由（1）得抛物线的对称轴是直线x=3，EM=MB=1，MN⊥EB且MB=NA=1，可求EM=1，而EG=EC=2，在Rt△EGM中，由勾股定理即可求得；
（3）分为以下几种情况：PF=FG，PF=PG，PG=FG，分别计算可得，P₁（1，4-

3

），P₂（3，4+

3

）．P₃（-

3

，1-2

3

），P₄（

3

，7-2

3

）．

解答：解：（1）根据题意可知B（4，4）、E（2，4），
由抛物线y=-x²+bx+c经过B（4，4）、E（2，4）两点，
得  

-4+2b+c=4 -16+4b+c=4.

，
解得  

b=6 c=-4.

，
∴所求抛物线的表达式为y=-x²+6x-4． 

（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线x=3．
∴EM=MB=1．
根据题意，CE=EG=2．
在Rt△EGM中，由勾股定理得，MG=

EG2-EG2

=

3

．
∴点G的坐标为（3，4-

3

）． 


（3）P₁（1，4-

3

），P₂（3，4+

3

），P₃（-

3

，1-2

3

），P₄（

3

，7-2

3

）．

点评：主要考查了待定系数法求解析式以及函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．