Question

【题目】如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．

（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；

（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= ，m=1；（2）P（2，2）或P（﹣2，﹣2），理由见解析.

【解析】

（1）把C（1，4）代入y=求出k=4，把（4，m）代入y=求出m即可，把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出解析式，求得出一次函数的解析式；（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD．

（1）把C（1，4）代入y=，得k=4，

把（4，m）代入y= ，得m=1；

∴反比例函数的解析式为y= ，m=1；

把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出，

解得，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+5；

（2）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC=S△POD，理由如下：

∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），

∴OD=OC=，

∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，

∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD．

∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），

可得∠COB=∠DOA，

又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，

∴∠BOP=∠POA，

∴P点横纵坐标坐标相等，

即xy=4，x2=4，∴x=±2，

∵x＞0，

∴x=2，y=2，

故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．

利用点CD关于直线y=x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．