Question

如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN

⑴ 如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 点M、N分别在AD、CD上，

若∠MBN=∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

⑵ 如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

Answer 1

解：（1） 图2，  猜想：MN=AM+CN      

 证明: 延长 NC至点F ，使 CF= AM，连接BF

     ∵四边形ABCD是等腰梯形

     ∴∠DAB=∠ADC

     又∵AD∥CB

     ∴∠ADC =∠BCF

     ∴∠BCF=∠DAB

     又∵AB=BC  AM=CF

         ∴△AMB≌△CFB                 

     ∴∠2=∠3  BM=BF

∵∠MBN=∠ABC

∴∠1+∠2=∠MBN

∴∠1+∠3=∠MBN

即∠MBN=∠NBF

又∵BN=BN   BM=BF

           ∴△MBN≌△FBN

     ∴ MN=NF

     ∵NF=NC+CF

     ∴MN=AM+CN                     

   （2）图3  猜想：MN=CN-AM