如图.在△ABC中.AB=AC.E是高AD上的动点.F是点D关于点E的对称点(点F在高AD上.且不与A.D重合)．过点F作BC的平行线与AB交于G.与AC交于H.连接GE并延长交BC于点I.连接HE并延长交BC于点J.连接GJ.HI．(1)求证:四边形GHIJ是矩形,(2)若BC=10.AD=6.设DE=x.S矩形GHIJ=y．①求y与x的函数关系式.并写出自变量x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接GE并延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI．
（1）求证：四边形GHIJ是矩形；
（2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S_矩形GHIJ=y．
①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②点E在何处时，矩形GHIJ的面积与△AGH的面积相等？

【答案】分析：（1）易得△GEF≌△IED，△FHE≌△DJE，则有GE=EI，EH=JE，所以四边形GHIJ是平行四边形，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，AF垂直平分GH?EF∥HI（三角形中位线定理）?HI⊥GH?四边形GHIJ是矩形．
（2）由于矩形GHIJ的面积=GH•FD，△AGH的面积=

HG•AF，所以要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，建立关于ED的方程，求得ED即可．
解答：（1）证明：∵F，E关于点D对称，
∴FE=ED（1分）
又∵GH∥BC，
∴∠FGE=∠EID，
∵∠GEF=∠DEI，
∴△GEF≌△IED，
∴GE=EI，（2分）
同理可证EH=JE，（3分）
∴四边形GHIJ是平行四边形，（4分）
∵AB=AC，GH∥BC，AD⊥BC，
∴AF垂直平分GH，
∴EF∥HI（三角形中位线定理），
∴HI⊥GH，四边形GHIJ是矩形．（5分）

（2）解：①由（1）得，DF=2ED=2x，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴

，
∴

．
即GH=

（6-2x）=10-

x．
∴S_矩形GHIJ=HI•GH=2x•（10-

x）=-

x²+20x，（6分）
∵AF=6-2x＞0，
∴x＜3，∴0＜x＜3．（7分）
②解法（一）：
∵S_△AGH=

AF•GH=

•（6-2x）•（10-

x），S_矩形GHIJ=2x•（10-

x），
依题意，得：

•（6-2x）•（10-

x）=2x•（10-

x），（8分）
解得：x₁=1，x₂=3（x＜3，舍去），
即：当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．（9分）

解法（二）：要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，（8分）
即6-2x=4x，∴x=1，
∴当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．（9分）
点评：本题利用了对称的概念，全等三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定，三角形和矩形的面积公式求解．