题目内容

已知反比例函数 $数学公式$ 图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线AC经过点A，并且经过反比例函数 $数学公式$ 的图象上另一点C（n， $数学公式$ ）．
（1）反比例函数的解析式为，m=，n=__；
（2）求直线AC的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵Rt△AOB面积为2，
∴|k|=4，
则反比例函数的解析式是：y=- $\text{[math]}$ ；
把A（-2，m）代入y=- $\text{[math]}$ 得，m=- $\text{[math]}$ =2；
把C（n， $\text{[math]}$ ）代入y= $\text{[math]}$ 得：- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，解得：n= $\text{[math]}$ ；

（2）设直线AC的解析式为y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
∵直线AC经过点A、B
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴直线AC的解析式y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．

（3）答：存在点P使△PAO为等腰三角形；
∵点A（-2，2），AB=|2|=2，
∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
①以点O为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P₁、P₂，P₁（0，-2 $\text{[math]}$ ），P₂（0，2 $\text{[math]}$ ）．（如图1）
②以点A为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P₃、另一个交点与点O重合．由勾股定理算得P₃（0，4）．（如图1）
③作OA的垂直平分线l交y轴于P₄，如图2，
∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P₄OA=45°
∵直线l是OA的垂直平分线，∴∠P₄KO=90°，OK= $\text{[math]}$ OA．
∴∠KP₄O=45°，OK= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠P₄OA=∠KP₄O，OK=KP₄= $\text{[math]}$ ．
∴由勾股定理求得OP₄=2．点P₄（0，2）．
综上可知：满足条件的点P的坐标分别为：P₁（0，-2 $\text{[math]}$ ），P₂（0，2 $\text{[math]}$ ），P₃（0，4），P₄（0，2）．
分析：（1）根据反比例函数式比例系数k的意义即可求得k的值，然后把A，C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m，n的值；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）存在点P使△PAO为等腰三角形，分O点、A点和P点是等腰三角形的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理以及垂直平分线的性质即可求解．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．