Question

已知反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，-），
（1）求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式；
﹙2﹚求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据△AOB的面积求出A点的坐标，然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式．进而求得C点的坐标．根据C、A的坐标即可求得直线AC的解析式；
（2）将△AOC分成△AOM和COM两部分进行求解．先根据直线AC的解析式求出M的坐标，即可得出OM的长，然后根据A、C的纵坐标即可求出△AOC的面积；
（3）以O为圆心，OA为半径，交坐标轴于四点，这四点均符合点P的要求．以A为圆心，AO为半径，交坐标轴于两点，作AO的垂直平分线，交坐标轴于两点，因此共有8个符合要求的点．
解答：解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，S_△OAB=3，
∴AB=3，
即A（-2，3），
∴反比例函数的解析式为y=-，
∴C（4，-），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得：，
∴y=-x+；

（2）根据（1）y=-x+，
得M（2，0），
∴OM=2，
∴S_△AOC=S_△AOM+S_△OCM=×2×3+×2×=4.5；

（3）存在．
∵A（-2，3），
∴OA=，
当OA=OP时，P₁（0，）、P₂（，0）、P₃（0，）、P₄（，0）；
当OA=AP时，P₅（0，6）、P₆（-4，0）；
当AP=OP时，P₇（0，）、P₈（-，0）．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．