Question

2．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称为“好点”．
（1）求直线y=-x+2与两坐标轴围成的平面图形中（含边界），所有“好点”的坐标；
（2）求证：函数y=$\frac{k}{x}$（k为正整数）的图象上必定含有偶数个“好点”；
（3）若二次函数y=kx²+（2k+1）x+2k-1的图象与x轴相交得到两个不同的“好点”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“好点”？

Answer 1

分析 （1）画出直线y=-x+2的图象，直接由图象得出“好点”的坐标；
（2）根据反比例函数关于原点对称，直接得出结论；
（3）由题意利用根与系数的关系得出得$\frac{ax}{（x+1）^{2}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}$=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}$求出x₁，x₂，进而求出k，验证满足△=（2k+1）²-4k（2k-1）=-4k²+8k+1＞0，最后分两种情况讨论计算．

解答 解：（1）如图，

由直线y=-2+2的图象得出它与两坐标轴围成的平面图形中（含边界），
所有“好点”的坐标为（0，0），（1，0），（2，0），（0，1），（0，2），（1，1），
（2）∵k为正整数，k=xy，
∴k至少能够分解成一组两个正整数的乘积，
∴在$y=\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上至少有一个“好点”，
∵双曲线的图象关于原点对称，
∴函数y=$\frac{k}{x}$（k为正整数）的图象上必定含有偶数个“好点”，
（3）∵二次函数y=kx²+（2k+1）x+2k-1的图象与x轴相交得到两个不同的“好点”，
∴当k≠0时，关于x的二次方程kx²+（2k+1）x+2k-1=0有两个不等的整数根x₁，x₂，
∴△=（2k+1）²-4k（2k-1）=-4k²+8k+1＞0，①
根据根与系数的关系得，$\frac{ax}{（x+1）^{2}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}$=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x}$②
消去k得，（x₂-1）（x₁-1）=5，
∵x₂，x₁是整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=1}\\{{x}_{1}-1=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=5}\\{{x}_{1}-1=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=-1}\\{{x}_{1}-1=-5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=-5}\\{{x}_{1}-1=-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=6}\\{{x}_{1}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{x}_{1}=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，∴k=-$\frac{1}{10}$或k=$\frac{1}{2}$，
而k=-$\frac{1}{10}$或k=$\frac{1}{2}$时，均满足△＞0，
①当时$k=-\frac{1}{10}$，此时$y=-\frac{1}{10}{x^2}+\frac{4}{5}x-\frac{6}{5}=-\frac{1}{10}（x-2）（x-6）=\frac{2}{5}-\frac{1}{10}{（x-4）^2}$．
由其图象可以得到：其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有5个“好点”．
②当时$k=\frac{1}{2}$，此时$y=\frac{1}{2}{x^2}+2x=\frac{1}{2}（x+4）x=\frac{1}{2}{（x+2）^2}-2$．
由其图象可以得到：其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有9个“好点”．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解本题的根据是理解并灵活运用新定义．